# Problema 4 - Solución Completa ## **Datos** - Radio del eje de revolución: \( r = 50 \) mm - Altura de la sección: \( h = 25 \) mm - Base de la sección: \( b = 40 \) mm - Grosor de la "pared": \( t = 25 \) mm ## **Teoremas de Pappus-Guldinus** 1. **Área superficial generada por la revolución de una curva plana:** \[ A = L \cdot 2\pi R \] donde \( L \) es la longitud de la curva generatriz y \( R \) es la distancia al eje de revolución desde el centroide de la curva. 2. **Volumen generado por la revolución de una figura plana:** \[ V = A_{\text{generatriz}} \cdot 2\pi R \] donde \( A_{\text{generatriz}} \) es el área de la figura generatriz y \( R \) es la distancia al eje de revolución desde el centroide del área. --- ## **Paso 1: Área de la sección generatriz** La sección generatriz es un rectángulo de \( 25 \) mm de alto por \( 40 \) mm de base, menos un rectángulo interno de \( 25 \) mm de base (grosor), también de \( 25 \) mm de alto. \[ A_{\text{generatriz}} = (40 \times 25) - (25 \times 25) = 100 - 625 = 375\ \text{mm}^2 \] --- ## **Paso 2: Centroide de la sección generatriz** El centroide de la sección generatriz se encuentra a la mitad de la altura, a una distancia del eje de revolución igual a: \[ R = r + \frac{25}{2} = 50 + 12.5 = 62.5\ \text{mm} \] --- ## **Paso 3: Volumen por el teorema de Pappus** \[ V = A_{\text{generatriz}} \cdot 2\pi R \] \[ V = 375 \times 2\pi \times 62.5 \] \[ V = 375 \times 2 \times 3.1416 \times 62.5 \] \[ V = 375 \times 6.2832 \times 62.5 \] \[ V = 375 \times 392.699 \] \[ V = 147,262.125\ \text{mm}^3 \] --- ## **Paso 4: Longitud de la curva generatriz** El contorno externo es un rectángulo de 40 mm (base) + 2 lados de 25 mm (altos) + base interna de 25 mm: \[ L = 40 + 25 + 25 + 25 = 115\ \text{mm} \] El centroide de la curva generatriz estará a la misma distancia, \( R = 62.5\ \text{mm} \). --- ## **Paso 5: Área superficial** \[ A = L \cdot 2\pi R \] \[ A = 115 \times 2\pi \times 62.5 \] \[ A = 115 \times 6.2832 \times 62.5 \] \[ A = 115 \times 392.699 \] \[ A = 45,160.385\ \text{mm}^2 \] --- ## **Respuestas finales** \[ \boxed{ A = 45,160.39\ \text{mm}^2 } \] \[ \boxed{ V = 147,262.13\ \text{mm}^3 } \] --- ### **Resumen** - **Área superficial:** \( 45,160.39 \) mm² - **Volumen:** \( 147,262.13 \) mm³ Si necesitas mayor detalle en algún paso, házmelo saber.