Vamos a calcular la longitud de arco de la **parte cerrada** de la curva: \[ 9a y^2 = x(x - 3a)^2 \] **Paso 1: Simplificar la ecuación** Expandimos la parte derecha: \[ x(x - 3a)^2 = x(x^2 - 6a x + 9a^2) = x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x \] Por lo tanto: \[ 9a y^2 = x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x \] \[ y^2 = \frac{1}{9a} (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x) \] **Paso 2: Determinar los puntos de corte con el eje \(y = 0\) (cierre de la curva)** Para \(y = 0\): \[ x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x = 0 \] \[ x(x^2 - 6a x + 9a^2) = 0 \] \[ x(x - 3a)^2 = 0 \] Las soluciones son: - \(x = 0\) - \(x - 3a = 0 \implies x = 3a\) La curva está cerrada entre \(x = 0\) y \(x = 3a\). **Paso 3: Hallar la longitud de arco** La fórmula general de longitud de arco para una función \(y(x)\) es: \[ L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \] Como la curva es simétrica respecto al eje \(y\) (por \(y^2\)), consideramos sólo la parte superior y luego multiplicamos por 2. **Encontrar \(y(x)\):** \[ y = \sqrt{\frac{1}{9a} (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x)} \] **Calculemos \(\frac{dy}{dx}\):** Sea \(u = x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x\): \[ y = \sqrt{\frac{u}{9a}} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9a}} \cdot \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} \] \[ \frac{du}{dx} = 3x^2 - 12a x + 9a^2 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9a}} \cdot \frac{3x^2 - 12a x + 9a^2}{\sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x}} \] \[ \sqrt{9a} = 3\sqrt{a} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{6\sqrt{a}} \cdot \frac{3x^2 - 12a x + 9a^2}{\sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x}} \] **Paso 4: Escribir la integral** La longitud de arco total es: \[ L = 2 \int_{x=0}^{x=3a} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \] Sustituimos \(\frac{dy}{dx}\): \[ L = 2 \int_0^{3a} \sqrt{1 + \left[\frac{1}{6\sqrt{a}} \cdot \frac{3x^2 - 12a x + 9a^2}{\sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x}} \right]^2} dx \] \[ = 2 \int_0^{3a} \sqrt{1 + \frac{(3x^2 - 12a x + 9a^2)^2}{36 a (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x)}} dx \] \[ = 2 \int_0^{3a} \sqrt{ \frac{36 a (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x) + (3x^2 - 12a x + 9a^2)^2 }{36 a (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x)} } dx \] \[ = 2 \int_0^{3a} \frac{ \sqrt{36 a (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x) + (3x^2 - 12a x + 9a^2)^2} }{6 \sqrt{a} \sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x}} dx \] \[ = \frac{1}{3\sqrt{a}} \int_0^{3a} \frac{ \sqrt{36 a (x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x) + (3x^2 - 12a x + 9a^2)^2} }{ \sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x} } dx \] **Paso 5: Simplificar el numerador** Calculemos \( (3x^2 - 12a x + 9a^2)^2 \): - \(3x^2 - 12a x + 9a^2\) - Cuadrado: \( 9x^4 - 72a x^3 + 216 a^2 x^2 - 216 a^3 x + 81 a^4 \) Ahora sumamos al otro término: \[ 36a(x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x) = 36a x^3 - 216 a^2 x^2 + 324 a^3 x \] Sumando ambos: \[ 9x^4 + (-72a x^3 + 36a x^3) = -36a x^3 + (216 a^2 x^2 - 216 a^2 x^2) = 0 + (-216 a^3 x + 324 a^3 x) = 108 a^3 x + 81 a^4 \] Así que el numerador es: \[ 9x^4 - 36a x^3 + 108 a^3 x + 81 a^4 \] **Paso 6: Escribir la integral final** \[ L = \frac{1}{3\sqrt{a}} \int_0^{3a} \frac{ \sqrt{9x^4 - 36a x^3 + 108 a^3 x + 81 a^4} }{ \sqrt{x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x} } dx \] **Paso 7: Sustitución para simplificar** Notamos que \(x^3 - 6a x^2 + 9a^2 x = x(x - 3a)^2\). Probemos con \(x = 0\) y \(x = 3a\): - Para \(x = 0\): - Numerador: \(9\cdot 0 - 36a\cdot0 + 108 a^3\cdot 0 + 81 a^4 = 81a^4\) - Denominador: \(0 - 0 + 0 = 0\) (¡pero por \(x\), así que está bien porque solo la raíz cuadrada, y la función queda bien definida en \(x=0\) y \(x=3a\)!) - Para \(x = 3a\): - Numerador: \(9(81a^4) - 36a(27a^3) + 108 a^3(3a) + 81 a^4 = 729a^4 - 972 a^4 + 324 a^4 + 81 a^4 = 162 a^4\) - Denominador: \(27 a^3 - 6a \cdot 9a^2 + 9a^2 \cdot 3a = 27a^3 - 54a^3 + 27a^3 = 0\) Así que la integral está bien definida. **Paso 8: Resolver la integral** En la práctica, esta integral no se puede resolver en forma cerrada (elemental), pero podemos factorizar el numerador para ver si se simplifica. Notemos que el numerador también es cuadrado perfecto: \[ 9x^