Tabii, adım adım çözelim: ### **Verilen:** \( x[n] = \cos\left(\frac{3\pi n}{5}\right) \cdot \sin\left(\frac{4\pi n}{5}\right) \) 10 noktalı DFT'si (Discrete Fourier Transform) soruluyor. --- ## **1. Adım: x[n]'i Basitleştirelim** Önce trigonometri kimliklerinden faydalanalım: \[ \cos(A)\sin(B) = \frac{1}{2} \left[ \sin(A + B) - \sin(A - B) \right] \] Burada: - \(A = \frac{3\pi n}{5}\) - \(B = \frac{4\pi n}{5}\) Uygulayalım: \[ x[n] = \cos\left(\frac{3\pi n}{5}\right) \sin\left(\frac{4\pi n}{5}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{3\pi n}{5} + \frac{4\pi n}{5}\right) - \sin\left(\frac{3\pi n}{5} - \frac{4\pi n}{5}\right) \right] \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right) - \sin\left(-\frac{\pi n}{5}\right) \right] \] Ama, \(\sin(-x) = -\sin(x)\) olduğundan: \[ x[n] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi n}{5}\right) \right] \] --- ## **2. Adım: x[n]'in 10 Noktalı DFT'si** 10 noktalı DFT \(X[k]\) aşağıdaki gibi tanımlanır: \[ X[k] = \sum_{n=0}^{9} x[n] e^{-j2\pi kn/10} \] Ama \(x[n]\) ifadesi iki sinüsün toplamı olduğuna göre, ayrı ayrı DFT'lerini bulup toplayabiliriz. --- ### **2.1. \(\sin\left(\frac{a\pi n}{5}\right)\)'nin DFT'si** Genel olarak: \[ \sin\left(\frac{2\pi f_0 n}{N}\right) = \frac{1}{2j} \left( e^{j\frac{2\pi f_0 n}{N}} - e^{-j\frac{2\pi f_0 n}{N}} \right) \] Burada \(N=10\). - \(\sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi \cdot 3.5 \cdot n}{10}\right)\) yani \(f_0 = 3.5\) - \(\sin\left(\frac{\pi n}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi \cdot 0.5 \cdot n}{10}\right)\) yani \(f_0 = 0.5\) --- ### **2.2. DFT'de Sonuçlar** 10 noktalı DFT'de bir sinüsün spektrumunda iki tepe noktası olur, biri +frekans, biri -frekans (ya da \(N-f_0\)). - \(\sin\left(\frac{2\pi f_0 n}{N}\right)\) için DFT'de \(k = f_0\) ve \(k = N-f_0\)'da sivri uçlar olur. Yani: - \(\sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right)\) için: \(f_0 = 3.5\) → \(k = 3.5\) ve \(k = 10-3.5 = 6.5\) - \(\sin\left(\frac{\pi n}{5}\right)\) için: \(f_0 = 0.5\) → \(k = 0.5\) ve \(k = 10-0.5 = 9.5\) Ancak DFT'de k tam sayı olmak zorunda, bu nedenle bu sinyallerin DFT'si yalnızca bu k'larda sıfırdan farklı olur. #### **DFT'de Sonuç** \[ X[k] = \frac{1}{2} \left( S_{3.5}[k] + S_{0.5}[k] \right) \] Burada \(S_{f_0}[k]\) sinüsün DFT'sidir. --- #### **Sonuçları Listeleyelim:** - \(X[k]\) yalnızca \(k=0.5, 3.5, 6.5, 9.5\) değerlerinde sıfırdan farklıdır. - Bu noktalar DFT dizisinin tam üzerinde değil, ara frekanslardır ve bu nedenle DFT'de enerji komşu k'lara dağılır (leakage). - Ancak teorik olarak sinyallerin frekansları bu k'larda yoğunlaşmıştır. --- ## **3. Adım: Sonuçları Yorumlayalım** **DFT'nin tam katsayıları şöyle olur:** \[ X[k] = \frac{1}{2} \left( DFT\left\{\sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right)\right\} + DFT\left\{\sin\left(\frac{\pi n}{5}\right)\right\} \right) \] ### **Özetle:** - \(x[n]\) ifadesi iki farklı sinüsün toplamı olarak yazıldı. - 10 noktalı DFT'de bu sinüslerin frekans bileşenleri \(k=0.5, 3.5, 6.5, 9.5\)'te yoğunlaşır. - DFT sonucunu sayısal olarak bulmak için \(x[n]\) değerlerini 0'dan 9'a kadar hesaplayıp, DFT formülüne koyarak 10 elemanlı dizi elde edebilirsiniz. --- ### **Ekstra:** Eğer sayısal değerler isterseniz, aşağıdaki şekilde hesaplayabilirsiniz: \[ x[n] = \frac{1}{2} \left[ \sin\left(\frac{7\pi n}{5}\right) + \sin\left(\frac{\pi n}{5}\right) \right] \] n = 0, 1, ..., 9 için hesaplayıp, bu diziye DFT uygulayabilirsiniz. --- **Sormak istediğiniz özel bir nokta varsa, ya da sayısal olarak da görmek isterseniz, lütfen belirtin!**